知道了距离就能画出来

如果有一个函数能告诉我们任意点到表面的最短距离，就可以让光线每次安全前进这段距离，最终找到表面。不需要三角形，也不需要顶点缓冲区。

概念图: 数学表达式 · 该点到表面的最短距离 · 安全的前进距离 · 球体追踪（sphere tracing）

光栅化以三角形为前提。改变形状时必须重新生成顶点，而合并或相减两种形状属于几何运算，处理起来很棘手。要用三角形表现两滴液体平滑融合，就必须每帧重新生成网格。

距离函数则用数学表达式描述形状。球体只需一行 length(p) - r，两个形状的并集也只需一行 min(a, b)。平滑融合也只需几行代码。由于没有几何数据，几乎不占用内存；改变形状就等于修改表达式。

有符号距离函数（SDF）接收一个点，并返回该点到表面的最短距离。位于内部时为负数，位于外部时为正数，恰好在表面上时为 0。

구      length(p) - r
평면    p.y - h
상자    q = abs(p) - b
        length(max(q, 0)) + min(max(q.x, q.y, q.z), 0)

关键在于，这个值就是安全的前进距离。如果当前位置与最近表面相距 d，那么无论朝哪个方向移动，前进 d 的距离都不会遇到任何物体。因此，让光线跳过 d 也不会越过表面。重复这一过程，就是球体追踪（sphere tracing），通常也称为光线步进（ray marching）。

t = 0
반복:
    d = scene(ro + rd * t)
    if d < eps: 맞았다
    t += d
    if t > 최대거리: 빗나갔다

在空旷区域会大步跳跃，接近表面时则逐步靠近。因此，擦着表面掠过的光线成本最高——距离始终很小，步长会被切得很细。如果按迭代次数着色，就会看到轮廓边缘明亮发光的画面，这是用视觉方式观察性能问题的好方法。

组合形状同样通过函数完成。

합집합    min(a, b)
교집합    max(a, b)
차집합    max(a, -b)          # a 에서 b 를 파낸다

平滑并集会混合两个距离。

h = clamp(0.5 + 0.5 * (b - a) / k, 0, 1)
mix(b, a, h) - k * h * (1 - h)

最后一项会使连接区域膨胀，形成平滑过渡。k 越大，融合范围越宽。

法线无需单独保存，可以通过距离函数的梯度求得。只需沿每个坐标轴移动一个极小距离，观察距离差值。距离函数的梯度按定义指向增长最快的方向，也就是表面的外侧方向。

阴影也只需再发射一条光线。从命中点朝光源方向再次步进，如果碰到物体，该点就在阴影中。光栅化中制作阴影贴图、转换坐标时遇到的各种问题，在这里都不存在；代价是每个屏幕像素都要发射两次光线。

性能特征也不同于光栅化。 光栅化成本取决于三角形数量与覆盖的像素数，而光线步进成本取决于每个像素的步数。因此，只要屏幕分辨率不变，无论形状多么复杂，成本都不会显著增加；但分辨率翻倍时，成本会变成四倍。形状变复杂导致性能下降，只会发生在距离函数本身计算变重时。

它还有一项有趣特性：空间重复。对点坐标执行取余运算后再传给距离函数，只需一行函数就能生成同一形状无限重复的场景，而且不会增加任何内存使用。不过，这时距离函数可能大于实际距离，因此需要同时考虑重复周期与形状大小，进行适当修正。

这项技术成长于用一个着色器绘制整个场景的演示场景与 Shadertoy 文化，如今也用于实际产品。例如云和烟雾等体积表现、物体熔化融合效果，以及无论分辨率如何都能清晰绘制字体和图标的 SDF 纹理。

需要注意的是，距离函数绝不能大于实际距离。如果估计过大，光线会越过表面，造成孔洞。因此，对形状进行非均匀缩放或重复时，需要保守地缩小距离进行修正。

最后说明一下如何与光栅化结合。实际工作中很少用光线步进绘制整个场景，通常会先光栅化一个覆盖屏幕的矩形，再在其片元着色器内执行步进。随后把结果写入深度缓冲区，就能与用三角形绘制的物体自然融合。云和烟雾等体积效果正是这样实现的：形状用距离函数描述，其余场景用三角形绘制，再通过深度把两者合成。

创建几个距离函数与组合运算，并通过球体追踪寻找表面。先只绘制轮廓，再使用梯度法线添加明暗；随后绘制由交集、差集和平滑并集组合出的形状。最后放置一个地面平面，发射阴影光线，生成球体在地面投下阴影的图像。