自己写向量和矩阵运算

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目标

亲自实现三维向量运算和 4x4 矩阵乘法，并用它们平移、旋转和缩放图形。完成后，你将能够读写变换矩阵，并通过亲手计算理解乘法顺序为何重要。

为什么重要

三维计算却使用 4x4 矩阵，是因为平移并非乘法。将坐标扩展为 (x, y, z, 1)，最后一列便会与这个 1 相乘并加到结果中，从而把平移纳入乘法。这称为齐次坐标，也由此区分 w 为 1 的点和 w 为 0 的方向。

用矩阵表示后，可以预先将多个变换相乘并合成一个矩阵。这就是 GPU 对每个顶点只乘一个 MVP 矩阵的原因。但矩阵乘法不满足交换律；改变顺序后，物体可能不再原地旋转，而是绕轨道运行。亲眼看到一次数值差异，就不会忘记。

步骤

放置 /root/linalg/gfxlib.py 工具箱。
在 /root/linalg/vec.py 中实现七个向量运算。
在 /root/linalg/mat.py 中实现 4x4 矩阵乘法。
在 /root/linalg/xform.py 中实现平移、缩放和旋转矩阵。
将交换乘法顺序后的结果写入 /root/linalg/out/05-order.txt。
将三组变换后的正方形绘制到 /root/linalg/out/square.png。
使用叉积求法线和面积，并写入 /root/linalg/out/07-normal.txt。

参考

所有文件都放在 /root/linalg 中。评分器会将该目录加入 import 路径并直接调用函数。
要查看图像，请运行 nohup python3 -m http.server 8080 -d /root/linalg/out &，然后在网页预览中打开 http://localhost:8080/square.png。
常见错误 1：混淆 mul 的索引，得到转置矩阵。单位矩阵检测不出此问题，请使用平移矩阵测试。
常见错误 2：让 rotate_y 的符号与其他轴保持一致。由于轴的循环顺序，只有 y 轴符号相反。

放置绘图工具箱

按示例原样保存 /root/linalg/gfxlib.py，并用 /root/linalg/check.py 绘制测试图案，生成 /root/linalg/out/00-check.png。图案是在 64x64 黑色背景上，从 (0,0) 到 (63,63) 绘制白色(255,255,255) 对角线，再叠加从 (0,32) 到 (63,32) 的红色(255,0,0) 水平线。

从本实验开始，不再重复实现 PNG 编码器。我们把第一个实验中手写的同类代码作为工具提供，因为这里要学习的不是文件格式。

实验 Pod 没有持久卷，因此上一个实验创建的文件不会保留。每个实验都从重新放置工具箱开始。

创建 Canvas(w, h, bg)，用 line(x0, y0, x1, y1, rgb) 绘制两条线，再用 write_png(path) 保存。必须最后绘制水平线，交点 (32,32) 才会是红色。

三维向量运算

在 /root/linalg/vec.py 中实现 add(a,b)、sub(a,b)、scale(a,s)、dot(a,b)、cross(a,b)、length(a)、normalize(a) 七个函数。向量是长度为 3 的元组，仅 dot 和 length 返回实数。

必须连同符号准确写出叉积定义。

cross(a, b) = (a1*b2 - a2*b1, a2*b0 - a0*b2, a0*b1 - a1*b0)

若 cross((1,0,0), (0,1,0)) 得到 (0,0,1)，符号就是正确的。若结果相反，右手坐标系被翻转，之后光照会看起来像从物体背后照来。

normalize 可能收到长度为 0 的向量。此时应原样返回，避免除以 0。

4x4 矩阵乘法

在 /root/linalg/mat.py 中实现 identity()、mul(a,b)、apply(m,v) 三个函数。矩阵按行优先存储（由四个长度为 4 的列表构成），apply 将点 (x,y,z) 视为列向量 (x,y,z,1) 相乘，并返回 (x,y,z,w) 四个分量。

乘法定义为 out[r][c] = sum(a[r][k] * b[k][c] for k in range(4))。一旦弄错索引顺序便会得到转置矩阵，而单位矩阵测试无法发现，因为单位矩阵转置后仍是自身。

因此请使用非对称矩阵测试，例如只有最后一列有值的平移矩阵。

apply 对 r=0..3 计算 m[r][0]*x + m[r][1]*y + m[r][2]*z + m[r][3]*1。

平移、缩放和旋转矩阵

在 /root/linalg/xform.py 中实现 translate(tx,ty,tz)、scale(sx,sy,sz)、rotate_x(deg)、rotate_y(deg)、rotate_z(deg) 五个函数。角度以**度(degree)**接收，并使用右手坐标系。

rotate_z 左上角的 2x2 为 [[cos, -sin], [sin, cos]]。这样 rotate_z(90) 会把 x 轴 (1,0,0) 变到 y 轴 (0,1,0)。

按同一规则，rotate_x 将 y 变到 z，rotate_y 将 z 变到 x。只有 rotate_y 的符号方向相反——m[0][2] = sin、m[2][0] = -sin。这是因为轴的循环顺序为 x→y→z→x；若强行统一符号，只有 y 轴旋转会反向。

使用 math.radians 将度转换为弧度。

乘法顺序会改变结果

令 T = translate(2,0,0)、R = rotate_z(90)，分别将 mul(T,R) 和 mul(R,T) 应用于点 (1,0,0)，把结果写入 /root/linalg/out/05-order.txt，格式为 TR=x,y,z 和 RT=x,y,z 两行，并保留小数点后六位。

在列向量右乘的约定中，右侧矩阵先应用。 mul(T, R) 表示先旋转、后平移。

请手动推导：先求 R 把 (1,0,0) 变到哪里，再加上 T。相反顺序则先应用 T，再应用 R。

一个结果是物体原地旋转后平移，另一个则先远离原点，再绕原点公转。结果差异很大。

绘制变换后的正方形

使用 /root/linalg/plot.py 将 256x256 PNG 写入 /root/linalg/out/square.png。模型坐标中的正方形为 (-1,-1,0)、(1,-1,0)、(1,1,0)、(-1,1,0)，屏幕坐标转换为 sx = 128 + 60*x、sy = 128 - 60*y。在黑色背景上绘制三组正方形：未变换者为白色(255,255,255)，应用 rotate_z(30) 者为红色(255,60,60)，应用 mul(translate(1.2,-0.8,0), scale(0.5,0.5,1)) 者为绿色(60,255,60)。

每个正方形由四条线段组成：依次连接四个顶点，最后从末点回到首点。使用 gfxlib.Canvas 的 line(x0, y0, x1, y1, rgb)。

转换到屏幕坐标时注意 y 使用减法。数学坐标的 y 向上，图像坐标的 y 向下。若遗漏，绿色正方形会画到上方。

绿色正方形先缩小、后平移——mul(translate, scale) 的右侧先应用。

用叉积求法线和面积

使用 /root/linalg/normal.py 求两个三角形的单位法线和面积，并在 /root/linalg/out/07-normal.txt 中写成 t1_normal=、t1_area=、t2_normal=、t2_area= 四行。三角形 1 为 A(0,0,0) B(2,0,0) C(0,3,0)，三角形 2 为 A(1,1,1) B(2,1,1) C(1,1,3)，法线是归一化后的 cross(B-A, C-A)。

叉积长度是两条边构成的平行四边形面积，因此三角形面积是其一半，即 area = length(cross(B-A, C-A)) / 2。

法线的符号由顶点环绕顺序决定。 cross(B-A, C-A) 与 cross(C-A, B-A) 方向完全相反。该顺序之后将成为区分正面和背面的标准，请严格按要求执行。

数值用 %.6f 格式，向量以逗号连接。例如：t1_normal=0.000000,0.000000,1.000000