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物理引擎的骨架

冲量、回弹、摩擦

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目标

使用冲量计算碰撞响应，并通过数字和图像确认恢复系数与摩擦分别决定什么。完成本实验后，你将能够亲手构建物理引擎的响应层。

为什么重要

刚性物体的接触时间甚至不到 1 毫秒，因此以每秒 60 帧运行的模拟无法重现接触过程。物理引擎会跳过过程，只计算结果：建立碰撞前后速度关系的方程，一次求出满足方程的速度变化量并应用。

这里需要掌握两个约定。第一是保存逆质量。把静止物体的逆质量设为 0，无需特殊处理就能继续使用同一公式。第二是物体正在远离时不要干预。如果遗漏这项检查，就会把正要离开的物体再次拉回，使其黏在表面上。

步骤

  1. 在 /root/impulse 中放置工具箱。
  2. /root/impulse/impulse.py——冲量公式。
  3. /root/impulse/out/03-conserve.txt——动量与能量。
  4. /root/impulse/out/bounce.csv、04-bounce.txt、bounce.png——反弹高度。
  5. /root/impulse/out/05-friction.txt——滑动的箱子。
  6. /root/impulse/out/06-tangent.txt——切线方向摩擦。
  7. /root/impulse/out/balls.png 与 07-balls.txt——箱子里的五个球。

参考

放置绘图工具箱

将示例中的 /root/impulse/gfxlib.py 原样保存，并通过 /root/impulse/check.py 绘制测试图案，生成 /root/impulse/out/00-check.png。图案为 64x64 黑色背景：先从 (0,0) 到 (63,63) 画白色（255,255,255）对角线，再从 (0,32) 到 (63,32) 叠加红色（255,0,0）水平线。

从本实验开始，不再重新编写 PNG 编码器。系统把与第一个实验中手工编写的相同代码作为工具提供——因为这里要学习的不是文件格式。

实验 Pod 没有持久卷，因此前一个实验创建的文件不会保留。所以每个实验都从重新放置工具箱开始。

创建 Canvas(w, h, bg)，使用 line(x0, y0, x1, y1, rgb) 绘制两条线，再用 write_png(path) 保存。必须后画水平线，交点 (32,32) 才会呈红色。

本实验会用它绘制反弹高度图和球的轨迹。

冲量公式

在 /root/impulse/impulse.py 中创建 resolve(v1, inv_m1, v2, inv_m2, n, e)。速度是二维元组，n 是从物体 1 指向物体 2 的单位向量。如果相对速度的法向分量大于等于 0，则不做任何处理并原样返回；若为负，则计算 j = -(1+e)*v_rel/(inv_m1+inv_m2)，应用 v1 -= j*inv_m1*n、v2 += j*inv_m2*n 后，以 (v1, v2) 返回结果。

v_rel = dot(v2 - v1, n)。该值为正表示两个物体已经在远离，因此不能干预。遗漏这项检查会把正要离开的物体再次拉回，使其黏在表面上。

接收逆质量而不是质量，是因为可以用 inv_m = 0 自然表示静止物体。如果使用无穷大，每次除法都需要特殊处理。

验证方法是让两个等质量物体正面碰撞。e=1 时两者交换速度，e=0 时两者得到相同速度。

什么被守恒，什么会消失

质量为 2 的物体 1（速度 (3,0)）与质量为 1 的物体 2（速度 (-1,0)）沿法向 (1,0) 碰撞。分别求解 e=1、0.5、0，并在 /root/impulse/out/03-conserve.txt 中写入 p_before=、ke_before=、p_e1=、ke_e1=、p_e05=、ke_e05=、p_e0=、ke_e0= 八行。动量是 x 分量之和，动能是 0.5*m*v² 之和（小数点后六位）。

两个逆质量分别为 0.5 和 1.0。

**三种情况下动量都必须相同。**因为两个物体受到大小相等、方向相反的冲量，这在结构上必然成立。如果结果不同，说明符号错误。

只有 e=1 时动能守恒；e 越小，动能越少。现实中消失的能量转化为声音、热量和形变。

e=0 时两个物体速度相同，表示它们黏在一起共同运动。

反弹高度按 e 的平方衰减

让球从 y=5.0、v=0 落下，以 g=-9.8、dt=1/240 模拟 2400 步。每一步执行 v += g*dt、y += v*dt；若 y < 0，则用 y = -y、v = -0.7*v 反弹。把结果写入 /root/impulse/out/bounce.csv，包含 step,y,v 表头和 2401 行；把前三次反弹后的最高点写入 /root/impulse/out/04-bounce.txt，格式为 peak1=、peak2=、peak3=。再在 /root/impulse/out/bounce.png（256x256，黑色背景）中按 px = int(step*255/2400)、py = 255 - int(y/5.0*255) 绘制颜色为 (120,200,255) 的点。

反弹后的最高点是 y 大于等于相邻两个值的位置（局部最大值）。取最初三个即可。

计算比值。peak2/peak1 与 peak3/peak2 都应接近 e² = 0.49。因为速度缩小为 e 倍时，上升高度会缩小为 e 的平方倍。

图中会出现熟悉的、峰值逐渐降低的形状。这一张图就能说明恢复系数的含义。

用 y = -y 反弹，是把穿透量镜像回去。与直接截断为 0 相比，能量损失更少。

滑动箱子会在哪里停止

对初速度 5.0 的滑动箱子施加库仑摩擦（mu=0.3、g=9.8），以 dt=1/240 模拟。每一步执行 v = max(0, v - mu*g*dt)、x += v*dt；v 变为 0 时停止。在 /root/impulse/out/05-friction.txt 中用 steps=、stop_time=、distance= 三行记录耗时和移动距离。

摩擦不与速度成正比，而是产生恒定减速度。因此速度线性下降，时间和距离都可解析计算。

t = v0 / (mu * g)        = 5 / 2.94 = 1.7007 s
d = v0² / (2 * mu * g)   = 25 / 5.88 = 4.2517 m

模拟值应与公式结果相差不超过 1%。不会完全相同，因为离散步进会截去最后一小段。

如果没有 max(0, ...)，速度会降为负数，箱子会**向后移动。**这相当于摩擦推动了物体，也是实际引擎中的常见错误。

摩擦也是冲量

在 /root/impulse/tangent.py 中创建 bounce_with_friction(v, inv_m, n, e, mu)，处理一个撞击静止表面（逆质量 0）的物体。计算并应用法向冲量 jn = -(1+e)*dot(v,n)/inv_m，然后针对切线方向 t = normalize(v - dot(v,n)*n) 计算 jt = -dot(v,t)/inv_m，将其截断到 [-mu*jn, +mu*jn] 后应用，并返回最终速度。返回 (v_out, jn, jt) 三个值；对于 v=(3,-3)、inv_m=1、n=(0,1)、e=0.5、mu=0.4，在 /root/impulse/out/06-tangent.txt 中写入 vout=vx,vy、jn=、jt=。

切线方向是速度减去法向分量后的余量。如果余量为 0（正面碰撞），切线没有定义，应跳过摩擦。

截断 jt 就是库仑摩擦的全部。如果完全消除切向速度所需的值不超过 mu*jn，物体会停在原地（静摩擦）；如果超过，只应用截断值，物体继续滑动（动摩擦）。一个条件分支即可产生两种摩擦。

在给定情况下，jn=4.5，截断前 jt=-3，上限为 0.4*4.5=1.8，因此 jt=-1.8。最终速度为 (1.2, 1.5)。

**法向分量和切向分量必须使用应用 jn 之前的速度计算。**打乱顺序会得到不同结果。

箱子里的五个球

在边长 10 的箱子中模拟五个半径为 0.5 的球，设置 g=-9.8、dt=1/240、墙面恢复系数 0.9，共 1800 步。初始位置依次为 (2,8)、(5,9)、(8,7)、(3,5)、(7,4)，速度依次为 (3,0)、(-2,1)、(0,0)、(4,2)、(-3,-1)。每 10 步把各球位置绘制到 /root/impulse/out/balls.png（256x256，黑色背景，sx=int(x*25.6)、sy=int(255-y*25.6)），颜色依次为 (255,100,100)、(100,255,100)、(100,150,255)、(255,220,80)、(220,120,255)；并在 /root/impulse/out/07-balls.txt 中从 b1=x,y,vx,vy 写到 b5=，再写入 energy_start=、energy_end=。能量公式为 sum(0.5*(vx²+vy²) + 9.8*y)。

墙面碰撞按每个坐标轴分别处理。如果 x - r < 0，则设 x = r、vx = -e*vx；另一侧同理，y 轴也相同。

每一步的顺序是应用重力、更新位置、处理墙面。改变顺序会使球穿过墙。

能量必须减少。恢复系数小于 1，因此每次撞墙都会损失少量能量。如果能量增加，说明墙面处理中缺少位置恢复或符号错误。

轨迹会保留在图中，可以直观看到由一段段抛物线组成的弹跳路径。