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物理引擎的骨架

把五个箱子摞起来并稳住

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目标

通过位置校正恢复已经穿透的重叠，通过迭代次数调整堆叠的刚度，并用图像记录五个箱子堆起并稳定的过程。本实验是课程 2 的收尾。

为什么重要

冲量只能修正速度，无法恢复已经穿透的重叠，因为发现重叠时物体已经互相穿透。因此，需要单独推动位置，而这里有两个调节项：每一步恢复多少百分比（percent），以及忽略多大余量（slop）。一次全部推出会发生弹跳，不留余量则会产生细微抖动。这一层的核心在于：不尝试把重叠精确降到 0，反而更加稳定。

此外，多个接触会相互耦合。修正上方会压迫下方，修正下方又会抬起上方。精确求解需要联立方程，成本很高，因此引擎会多次重复相同遍历来近似求解。迭代次数直接决定堆叠看起来有多坚固。

步骤

  1. 在 /root/stack 中放置工具箱。
  2. /root/stack/correct.py——位置校正。
  3. /root/stack/out/03-sink.txt——没有校正时的下沉深度。
  4. /root/stack/out/04-fixed.txt——启用校正后的深度。
  5. /root/stack/out/05-iters.txt——迭代次数 1、4、10。
  6. /root/stack/out/06-stack.txt 和 stack.png——堆叠五个箱子。
  7. /root/stack/out/f00.png ~ f11.png 和 index.html——堆叠过程。

参考

放置绘图工具箱

将示例中的 /root/stack/gfxlib.py 原样保存，并使用 /root/stack/check.py 绘制测试图案，生成 /root/stack/out/00-check.png。图案是在 64x64 黑色背景上，从 (0,0) 到 (63,63) 绘制白色（255,255,255）对角线，然后在其上从 (0,32) 到 (63,32) 绘制红色（255,0,0）水平线。

从本实验开始，不再重新实现 PNG 编码器。我们将第一个实验中手工创建的相同代码作为工具提供——因为这里要学习的不是文件格式。

实验 Pod 没有卷，因此前一个实验创建的文件不会保留。所以每个实验都从重新放置工具箱开始。

创建 Canvas(w, h, bg)，使用 line(x0, y0, x1, y1, rgb) 绘制两条线，再用 write_png(path) 保存。必须后画水平线，这样交点 (32,32) 才会是红色。

本实验会用它将箱子堆叠过程保存为十二张图。

位置校正

在 /root/stack/correct.py 中创建 correct(depth, slop, percent, inv_m1, inv_m2)。计算 보정량 = max(depth - slop, 0) / (inv_m1 + inv_m2) * percent，并返回 (보정량*inv_m1, 보정량*inv_m2) 两个浮点数。这表示物体 1 沿 -n 方向移动相应距离，物体 2 沿 +n 方向移动相应距离。如果逆质量之和为 0，则返回 (0.0, 0.0)。

max(depth - slop, 0) 就是 slop 的全部含义。重叠浅于余量时，什么也不做。没有它，为了把重叠精确降到 0，校正会在每一步以极小值持续发生，使物体轻微抖动。

percent 表示每一步恢复百分之多少。设为 1.0 会一次全部推出，从而让物体弹开，并在下一步再次碰撞，形成振荡。通常使用 0.2 到 0.8。

先除以逆质量之和，再乘以各自逆质量，是为了让较轻的一方移动得更多。如果一侧是不动的物体（逆质量为 0），另一侧会承担全部移动。

没有校正时会在下沉状态下固定

将一个半高为 0.5 的箱子从 y=1.5、v=0 处落下，使用 g=-9.8、dt=1/60 模拟 600 步。每一步为：（1）v += g*dt；（2）迭代 10 次，如果 0.5 - y > 0 且 v < 0，则令 v = 0；（3）y += v*dt，并且不进行位置校正。将最终穿透深度 0.5 - y 写入 /root/stack/out/03-sink.txt，格式为 depth_final=（如果为负则写 0）。

即使将速度设为 0，已经穿透的部分仍会保留，因为发现重叠时已经发生了穿透。

而且在该状态下，下一步重力又会赋予速度，位置稍微下降，再次被设为 0。深度会停在某个值，这就是本步骤的答案。

600 步后的深度大于 0.02。它占箱子高度的若干百分比；堆叠多个箱子时，这种误差会累积，使整堆明显变矮。

令 v = 0 等同于恢复系数为 0 的冲量。地面的逆质量为 0，因此只改变箱子一侧。

启用校正后会恢复到 slop

在相同条件下增加（4）位置校正步骤——位置更新后计算 depth = 0.5 - y，如果 depth > slop，则执行 y += percent*(depth - slop)（slop=0.01、percent=0.2）。将 600 步后的深度写入 /root/stack/out/04-fixed.txt，格式为 depth_final=，并将与第 3 步结果的差以 improved= 写入。

校正只移动位置。如果同时改变速度，校正就会成为推动物体的力，使堆叠自行弹起。

深度会停在 slop 附近。没有降到 0 才是正常结果——保持极薄的重叠反而更加稳定。

improved 是 3단계 깊이 - 4단계 깊이。它必须为正，并且大约超过第 3 步深度的一半。

地面不移动，因此只移动箱子一侧。箱子之间则应按逆质量比例分配，向两侧推动。

迭代次数决定堆叠刚度

将三个半高为 0.5 的箱子从 y = 0.5 + i + 1.0（i=0,1,2）处落下并模拟 600 步，仅将迭代次数分别改为 1、4、10，然后把各自最大穿透深度写入 /root/stack/out/05-iters.txt，格式为 iters1=、iters4=、iters10=。启用位置校正（slop=0.01、percent=0.2）。

共有三个接触——地面与 0 号、0 号与 1 号、1 号与 2 号。在每次迭代中按此顺序求解。

箱子之间的接触处理如下。如果重叠 1.0 - (y[i+1] - y[i]) 大于 0，且相对速度 v[i+1] - v[i] 为负，则计算 j = -(v[i+1]-v[i]) / (inv_i + inv_{i+1})，并执行 v[i] -= j*inv_i、v[i+1] += j*inv_{i+1}。所有箱子的逆质量均为 1。

对三个接触都应用位置校正。箱子之间计算 m = percent*(depth-slop)/(inv_i+inv_{i+1})，使下方箱子向下移动 m*inv_i，上方箱子向上移动 m*inv_{i+1}。

最大穿透深度是三个接触深度中的最大值。迭代越多，它必须越小——这正是本步骤要观察的现象。

堆叠五个箱子

将五个箱子从 y = 0.5 + 2.0 + i*1.6（i=0..4）处落下，以 15 次迭代模拟 900 步，并将最后五个高度和最大穿透深度写入 /root/stack/out/06-stack.txt，格式为 y1= ~ y5=、max_depth=。然后将最终状态绘制到 /root/stack/out/stack.png（256x256，背景为 (20,20,28)）——箱子的水平半宽为 1.5，屏幕坐标为 sx = int(x*25.6 + 128)、sy = int(255 - y*25.6)，颜色自下而上为 (230,120,110)、(230,190,110)、(150,220,120)、(120,190,230)、(190,140,230)，并在最后用白色绘制 sy=255 线表示地面。

让初始高度错开，箱子就会依次落下并堆叠。如果采用相同间距，它们会一起落下，没有可观察的过程。

一个箱子在屏幕上的水平范围为 89 到 166，垂直范围从 int(255-(y+0.5)*25.6) 到 int(255-(y-0.5)*25.6) 的矩形。使用 Canvas 的 fill_rect，一行即可完成。

最下方箱子会穿透一个 slop，因此矩形会延伸到 sy=255。如果先画地面线，箱子会把它覆盖。请最后绘制地面。

最终高度大约为 0.47、1.44、2.41、3.38、4.37。不是精确的 0.5、1.5、2.5，是因为它们在重叠一个 slop 的状态下稳定。

最大穿透深度不能超过 0.05。超过时，说明迭代次数不足或遗漏了位置校正。

用十二张图记录堆叠过程

在相同模拟中，从第 0 步开始每隔 15 步记录一次状态，生成从 /root/stack/out/f00.png 到 f11.png 的十二张图，并创建包含全部十二个名称的 /root/stack/out/index.html，使用 python3 -m http.server 8080 -d /root/stack/out 检查。绘图规则与第 6 步相同。

保存第 0、15、30、...、165 步的状态，之后一次性绘制即可。无需重新运行模拟十二次。

最后两张图几乎相同才是正常结果。这正是用数字确认堆叠已经稳定的方法——帧之间的差异是否收敛到 0。

相反，第一张和最后一张必须明显不同。第一张中箱子分散在空中，最后一张中箱子堆在地面上。

HTML 与前一实验相同，使用一个 <img> 和 setInterval 即可。