값이 맞아도 너무 일찍 읽으면 틀린다

한 줄 요약

정상상태의 범위와 그 상태에 도달하는 시간은 서로 다른 검증 항목입니다.

왜 이게 필요했나

개발 보드 한 장에서는 잘 되던 센서가 양산 뒤 일부에서만 범위를 벗어납니다. 저항에 쓰인 숫자는 명목값이지 모든 부품의 실측값이 아닙니다. 여기에 전원 오차까지 겹칩니다. 명목 계산 하나가 맞는다고 설계 여유가 충분한 것은 아닙니다.

±1%인 저항을 여러 개 쓴다고 전압 오차를 단순히 ±1%로 정할 수 없습니다. 출력 전압은 저항들의 비율에 달려 있기 때문입니다. 분압기의 위쪽만 커지면 출력은 내려가지만 아래쪽만 커지면 올라갑니다. 모두를 같은 비율로 키우는 실험은 바로 이 최악의 조합을 놓칩니다.

어떻게 동작하나

전원과 세 저항이 각각 두 끝값을 가지면 16개 조합을 계산합니다. 양의 저항만 있는 이 회로에서 출력은 전원·하단·부하가 커질 때 증가하고 상단이 커질 때 감소하므로 끝값의 최소·최대가 범위를 정합니다. 비선형 소자나 복잡한 회로에서도 항상 모서리만 보면 된다는 일반 법칙은 아닙니다. 또 균등분포나 정규분포를 주지 않았으므로 이 범위로 불량률을 계산할 수 없습니다.

출력에 커패시터 C를 연결하면 전압은 순간적으로 최종값이 되지 않습니다. 이상적인 1차 회로에서 V(t)=Vfinal+(Vinitial-Vfinal)*exp(-t/τ)입니다. 시간상수는 τ=Rth*C입니다. Rth를 구할 때 독립 이상 전압원은 0 V, 즉 단락으로 바꿉니다. 그래서 이 회로에서는 위·아래·부하 세 저항이 모두 접지로 보이고 병렬이 됩니다. 전원 저항을 무한대로 놓으면 다른 시간상수가 나옵니다.

최종값 대비 잔여 오차가 1% 이하여야 한다면 exp(-t/τ)<=0.01, 곧 t>=-τ*ln(0.01)입니다. 1τ에서 약 63.2% 도달했다는 말과 1%까지 안정됐다는 말은 다릅니다. C를 늘리면 변화를 더 느리게 만들 수 있지만, 입력을 빨리 읽어야 하는 시간 예산과 충돌합니다.

현장에서 만나는 모습

ADC의 전체 샘플 간격과 입력을 획득하는 시간은 같지 않을 수 있습니다. 데이터시트의 획득 시간, 입력 회로, 허용 소스 저항을 함께 확인해야 합니다. 이 교재의 100 nF는 출력에 추가한 교육용 커패시터이며 특정 ADC의 내부 샘플링 커패시터라는 뜻이 아닙니다. 실제로는 스위치 저항·증폭기 안정도·잡음도 확인해야 합니다.

경계와 확률은 다른 질문이다

전원이 가장 높고 상단 저항은 가장 작으며 하단과 부하는 가장 클 때, 이 모델의 출력이 최대가 됩니다. 반대 조합은 최소입니다. 여기서 16개 조합을 모두 세는 것은 생산품 16개를 측정한다는 뜻이 아닙니다. 가능한 경계를 펼쳐 보인 것입니다. 끝값에서 나쁜 결과가 나왔다고 제품의 1/16이 불량이라고 말할 수 없습니다. 실제 분포와 변수 사이의 상관관계를 모르면 그 비율은 없습니다.

실무에서는 ‘상온 명목값’, ‘전기적 공차 범위’, ‘온도 변화’, ‘부품 노화’를 분리해서 기록합니다. 이번 ±1%에는 온도 계수나 장기 변화를 추가하지 않았습니다. 따라서 공차 계산이 통과해도 온도별 검증이 끝난 것이 아닙니다. 모르는 효과를 전부 합쳐 적당히 10% 여유를 붙이면 보수적으로 보이지만, 무엇을 놓쳤는지와 그 수치의 근거를 설명할 수 없습니다.

파형을 세 점으로 검산한다

RC 계산은 초기값, 한 시간상수 뒤, 충분히 긴 시간 뒤의 세 점으로 확인할 수 있습니다. 초기 0 V에서 최종 2 V로 가고 τ=2 ms인 별도 예시라면, t=0에서 0 V, t=2 ms에서 약 1.264 V, t=10 ms에서 약 1.987 V입니다. 전압이 최종값을 넘거나 시간이 갈수록 내려가면 지수 부호나 초기 조건을 잘못 쓴 것입니다. 이 단조 증가 성질은 이번 수동 1차 충전 모델의 성질이며, 인덕터가 있거나 능동 회로에서 진동이 생기는 경우로 일반화하지 않습니다.

‘5τ면 끝’이라는 표현도 요구 오차와 함께 써야 합니다. 5τ 뒤 잔여 오차는 약 0.674%입니다. 1% 기준에는 충분하지만 훨씬 작은 오차를 요구하는 고해상도 변환기에는 충분하지 않을 수 있습니다. 12비트에서 풀스케일 스텝의 절반 LSB는 전체 범위의 1/8192이므로 이상적 1차 모델만으로도 약 ln(8192)=9.01τ가 필요합니다. 실제 획득 스텝의 크기가 풀스케일인지와 다른 오차 예산은 별도로 정해야 합니다.

커패시터의 100 nF는 100×10⁻⁹ F입니다. Python에서 100e-9로 적으면 단위를 계산 전에 통일할 수 있습니다. 시간 결과를 ms로 보여주고 싶다면 계산은 s로 끝낸 뒤 출력 때 1000을 곱하세요. 중간 계산에서 ms와 s를 섞으면 천 배 틀린 응답도 매끄러운 곡선으로 그려집니다. 그래프가 그럴듯한 것과 단위가 맞는 것은 다른 검증입니다.

마지막으로 전원이 0 V가 된다고 저항까지 사라지는 것은 아닙니다. 출력에서 바라보면 상단 저항도 접지로 연결되므로 나머지 두 저항과 함께 남습니다. 회로도를 한 번 다시 그리는 일이 복잡한 공식 하나를 외우는 것보다 이런 오류를 확실하게 막습니다.

다음 확인

바로 뒤 퀴즈에서 공차 조합과 시간 기준을 구분합니다. 마지막 모듈의 실습에서는 16개 공차 조합을 만들고, 명목 회로가 1 ms 뒤 어디까지 도달했는지 계산합니다. 측정 장비를 썼다는 표현 대신 ‘이상적인 1차 모델의 예측’이라고 결과에 설명하세요. 저항을 크게 하면 소비전력은 줄지만 출력 임피던스가 커질 수 있다는 상충관계도 함께 검토합니다.